计算互感-技术支持,贴片射频电感，台湾VIKING(光颉)

应用麦克斯韦方程组，可以计算出电感。很多重要案例，经过简化程序后，可以被解析。当涉及高频率电流和伴随的集肤效应，经过解析拉普拉斯方程，可以得到面电流密度与磁场。假设导体是纤细导线，自感仍旧相依于导线半径、内部电流分布。假若导线半径超小于其它长度尺寸，则这电流分布可以近似为常数（在导线的表面或体积内部）。
互感

图上方，闭合回路1的含时电流 $i_1(t)$ 所产生的含时磁通量，会促使闭合回路2出现感应电动势 $\mathcal{E}_2$ 。图下方，闭合回路2的含时电流 $i_2(t)$ 所产生的含时磁通量，会促使闭合回路1出现感应电动势 $\mathcal{E}_1$ 。

如右图所示，流动于闭合回路1的含时电流 $i_1(t)$ ，会产生磁通量 $\Phi_{2}(t)$ 穿过闭合回路2，促使闭合回路2出现感应电动势 $\mathcal{E}_2$ 。穿过闭合回路2的磁通量和流动于闭合回路1的含时电流，有线性关系，称为互感 $M_{21}$ ，以方程表达为。

$\Phi_{2} = M_{21} i_1$ 。

计算互感，可使用纽曼公式（Neumann formula）：

$M_{21} = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1} \oint_{\mathbb{C}_2} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2}{|\mathbf{X}_2-\mathbf{X}_1|}$ ；

其中， $\mu_0$ 是磁常数， $\mathbb{C}_1$ 是闭合回路1， $\mathbb{C}_2$ 是闭合回路2， $\mathbf{X}_1$ 是微小线元素 $\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1$ 的位置， $\mathbf{X}_2$ 是微小线元素 $\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2$ 的位置。

由此公式可见，两个线圈之间互感相同： $M_{12} = M_{21}$ ，且互感是由两个线圈的形状、尺寸和相对位置而确定。

导引

穿过闭合回路2的磁通量 $\Phi_{2}(t)$ 为

$\Phi_{2}(t)=\int_{\mathbb{S}_2}\mathbf{B}_1(\mathbf{X}_2, t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}_2$ ；

其中， $\mathbb{S}_2$ 是边缘为 $\mathbb{C}_2$ 的任意曲面， $\mathrm{d}\mathbf{a}_2$ 是微小面元素。

改用磁矢势 $\mathbf{A}_1$ 计算：

$\mathbf{B}_1(\mathbf{X}_2, t)=\nabla_2\times\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)$ ；

其中， $\nabla_2$ 是对于变矢量 $\mathbf{X}_2$ 的偏微分。

应用斯托克斯公式，可以得到

$\Phi_{2}(t)=\int_{\mathbb{S}_2}[\nabla_2\times\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)]\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}_2=\oint_{\mathbb{C}_2}\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2$ 。

磁矢势 $\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)$ 的定义式为

$\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mu_0 i_1}{4\pi}\oint_{\mathbb{C}_1} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1}{|\mathbf{X}_2-\mathbf{X}_1|}$ 。

磁通量与流动于闭合回路1 $\mathbb{C}_1$ 的电流 $i_1$ 的关系式为

$\Phi_{2}(t)=\frac{\mu_0 i_1}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1}\oint_{\mathbb{C}_2}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2}{|\mathbf{X}_2-\mathbf{X}_1|}$ 。

所以，互感为

$M_{21}=\frac{\mathrm{d}\Phi_2}{\mathrm{d}i_1}=\frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1}\oint_{\mathbb{C}_2}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2}{|\mathbf{X}_2-\mathbf{X}_1|}$ 。

这方程称为纽曼公式（Neumann formula）。注意到对换闭合回路 $\mathbb{C}_1$ 与 $\mathbb{C}_2$ 不会改变结果， $M_{21}=M_{12}$ ，因此，可以以变量 $M$ 统一代表。

类似地，穿过闭合回路1的磁通量 $\Phi_{1}(t)$ 为

$\Phi_{1}(t)=\frac{\mu_0 i_1}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1}\oint_{\mathbb{C}'_1}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'_1}{|\mathbf{X}_1-\mathbf{X}'_1|}$ 。

除去所有下标，令 $\mathbb{C}$ 、 $\mathbb{C}'$ 代表同一闭合回路，自感以方程表示为

$L=\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}i}=\frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}}\oint_{\mathbb{C}'}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'}{|\mathbf{X}-\mathbf{X}'|}$ 。

当 $\mathbf{X}_1=\mathbf{X}'_1$ 时，这积分可能会发散，需要特别加以处理。另外，若假设闭合回路为无穷细小，则在闭合回路附近，磁场会变得无穷大，磁通量也会变得无穷大，所以，必须给予闭合回路有限尺寸，设定其截面半径 $r_0$ 超小于径长 $\ell_0$ ，

有很多种方法可以化解这困难。例如，令 $\mathbb{C}$ 为闭合回路的中心曲轴，令 $\mathbb{C}'$ 为闭合回路的表面，则 $\mathbf{X}_1\ne\mathbf{X}'_1$ ，这积分就不会发散了。

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