电感与磁场能量-技术支持,贴片射频电感，台湾VIKING(光颉)

将前面论述加以推广，思考 $K$ 条闭合回路，设定第 $k$ 条闭合回路的卷绕匝数为 $N_k$ ，载有电流 $i_k$ ，则其磁链 $N_{k}\Phi _{k}$ 为

$N_{k}\Phi _{k}=\sum_{n=1}^{K}L_{k,n}i_{n}$ ；

其中， $\Phi _{k}$ 是穿过第 $k$ 条闭合回路的磁通量， $L_{k,k}=L_k$ 是自感， $L_{k,n}=M_{k,n}, k\ne n$ 是互感。

由于第 $n$ 条闭合回路对于磁通量 $\Phi _{k}$ 的总贡献是卷绕匝数乘以电流，即 $N_n i_n$ ，所以， $L_{k,n}$ 与乘积 $N_k N_n$ 成正比。

从法拉第电磁感应定律，可以得到

$v_{k}=-\mathcal{E}_k=N_{k}\frac{\mathrm{d}\Phi _{k}}{\mathrm{d}t} =\sum_{n=1}^{K}L_{k,n}\frac{\mathrm{d}i_{n}}{\mathrm{d}t} =L_k\frac{\mathrm{d}i_k}{\mathrm{d}t}+\sum_{n=1,\ n\ne k}^{K}M_{k,n}\frac{\mathrm{d}i_{n}}{\mathrm{d}t}$ ；

其中， $v_{k}$ 是第 $k$ 条闭合回路的感应电压。

第 $k$ 条闭合回路的电功率 $p_k$ 为

$p_k=i_k v_k$ 。

假设原先所有电流为零，即 $i_1=i_2=\dots=i_K=0$ , 储存于所有闭合回路的总磁能为 $0$ 。现在，将第一条闭合回路的电流 $i_1$ 平滑地从 $0$ 增加到 $I_1$ ，同时保持其它闭合回路的电流不变，则储存于第一条闭合回路的磁能 $W_1$ 为

$W_1=\int i_1 v_1 \mathrm{d}t=\int_0^{I_1} i_1 L_1\mathrm{d}i_1=\frac{1}{2}L_1 I_1^2$ 。

然后，将第二条闭合回路的电流 $i_2$ 平滑地从 $0$ 增加到 $I_2$ ，同时保持其它闭合回路的电流不变，则储存于第二条闭合回路的磁能 $W_2$ 为

$W_2=\int i_2 v_2 \mathrm{d}t=\int_0^{I_2} i_2 L_2\mathrm{d}i_2 +\int_0^{I_2} I_1 M_{1,2}\mathrm{d}i_2&#10;=\frac{1}{2}L_2 I_2^2+M_{1,2}I_1 I_2$ 。

案照这方法继续地计算，储存于第 $k$ 条闭合回路的磁能 $W_k$ 为

$W_k=\int i_k v_k \mathrm{d}t=\int_0^{I_k} i_k L_k\mathrm{d}i_k +\sum_{n=1}^{k-1} \int_0^{I_k} I_n M_{n,k}\mathrm{d}i_k&#10;=\frac{1}{2}L_k I_k^2+\sum_{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_n I_k$ 。

所以，当每一个闭合回路的电流都平滑地增加到其最终电流之后，储存于所有闭合回路的总磁能 $W$ 为

$W=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K}L_k I_k^2+\sum_{k=1}^{K}\sum_{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_n I_k&#10;=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K}L_k I_k^2+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K}\sum_{n=1,n\ne k}^{K}M_{n,k}I_n I_k&#10;$ 。

假设将 $I_n$ 与 $I_k$ 的数值交换，总磁能 $W$ 不会改变。满足可积分条件 $\frac{\partial^2{W}}{\partial I_n \partial I_k}=\frac{\partial^2{W}}{\partial I_k \partial I_n}$ ，必需要求 $L_{k,n}=L_{n,k}$ 成立。所以，电感矩阵 $L_{k,n}$ 是个对称矩阵。

从物理角度来看，上述增加电流方法并不是唯一方法，还有其它很多种增加电流方法。由于能量守恒，没有任何耗散能量。所以，不论选择哪一种方法，只要每一条闭合回路的电流增加到其最终电流，则储存的总磁能都相等。

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